ペアトレードの定式化

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ペアトレードとは

価格が似通った動きをする2つの銘柄の一方を買い、もう一方を売ることで収益を狙う投資手法です。

たとえば、同じ業種の2つの銘柄をペアとして組み、両者の価格乖離が通常よりも広がったときに割高の銘柄を売り、割安の銘柄を買うことでポジションにエントリーし、平均に戻る過程で利益を得ることを目指します。

これは株価収益の差が平均に回帰するという現象を用いた投資戦略の一つである。

本レポートでは、これを定式化することで、収益源とリスクについて考える。

定式化

銘柄1, 2の時刻tにおける株価を次のようにおく.

p1(t),p2(t)p_1(t) , p_2(t)

この時、さや比を次のように定義する.

S(t)=p1(t)p2(t)S(t) =\frac{p_1(t) }{p_2(t)}

このさや比が正規分布に従うと仮定する・・・(*)

S(t)∼N(μ(t),σ(t))S(t) \sim N(μ(t), σ(t))

ペアトレードのポジションを仕掛ける時刻をt1, 手仕舞いする時刻をt2とする.

時刻t1ではさや比が開いており、その広がりを定数kとσを用いて表せるとする.

また、時刻t2ではさや比が平均に回帰している. これを定式化すると次の通り.

S(t1)=μ(t1)+kσ(t1)⋅⋅⋅(1)S(t2)=μ(t2)\begin{aligned} S(t_1) = μ(t_1) + k σ(t_1) \cdot\cdot\cdot (1) \\ S(t_2) = μ(t_2) \end{aligned}

ここで定数kは平均からの乖離を表す.

(ボリンジャーバンドの±2σの2にあたる数値である)

ペアトレードで、ポジションを取るときに同金額や同株数、同ベータなどいくつか考え方が存在する. このレポートでは、同金額とする.

銘柄1は1株空売りし、銘柄2はS(t1)株購入すると考えると、仕掛けの金額は次のように定式化できる.

仕掛け=1∗p1(t1)−S(t1)∗p2(t1)=p1(t1)−(μ(t1)+kσ(t1))p2(t1)=0∴(1)よりp1(t1)=S(t1)p2(t1)=(μ(t1)+kσ(t1))p2(t1)\text{仕掛け} = 1*p_1(t_1) - S(t_1) * p_2(t_1) \\ = p_1(t_1) - ( μ(t_1) + k σ(t_1) )p_2(t_1) \\ =0 \\ \therefore (1) \text{より} p_1(t_1) = S(t_1)p_2(t_1) =( μ(t_1) + k σ(t_1)) p_2(t_1)

これは、ポジションを組む際、銘柄1を空売りし、銘柄2を買うときのネット金額が0、つまり、同金額となることを示す. ・・・(**)

手仕舞いは乖離が収束するつまり、さや比が平均に回帰するときに、銘柄1を買い戻し、銘柄2を売却する.

つまり、S(t2) = μ(t2) となるときである.

このとき、売買する株数は銘柄1は1株、銘柄2はS(t1)株である.（そのため、下記式にもS(t1)が含まれる）

手仕舞い=−p1(t2)+S(t1)∗p2(t2)=−p1(t2)+(μ(t1)+kσ(t1))p2(t2)=−μ(t2)p2(t2)+(μ(t2)+kσ(t2))p2(t2)∴S(t2)=μ(t2)=p1(t2)p2(t2)=−p2(t2)(μ(t2)−μ(t1))+kσ(t1)p2(t2)\text{手仕舞い} = -p_1(t_2) + S(t_1) * p_2(t_2) \\ = -p_1(t_2) + ( μ(t_1) + k σ(t_1) )p_2(t_2) \\ = - μ(t_2)p_2(t_2) + ( μ(t_2) + k σ(t_2) )p_2(t_2) \therefore S(t_2) = μ(t_2) = \frac{p_1(t_2)}{p_2(t_2)} \\ = -p_2(t_2)(μ(t_2) - μ(t_1)) + kσ(t_1)p_2(t_2)

よって、損益PL(t1,t2)は次のように表せる.

PL(t1,t2)=kσ(t1)p2(t2)−p2(t2)(μ(t2)−μ(t1))PL(t_1, t_2) = kσ(t_1)p_2(t_2) - p_2(t_2)(μ(t_2) - μ(t_1))

この式は次の2つに分解できる.

kσ(t1)p2(t2):ペアの乖離によるエッジp2(t2)(μ(t2)−μ(t1)):ペアが正規性を持たないリスクkσ(t_1)p_2(t_2) : \text{ペアの乖離によるエッジ} \\ p_2(t_2)(μ(t_2) - μ(t_1)) : \text{ペアが正規性を持たないリスク}

ペアが正規性を持たないリスクμ(t_2) - μ(t_1)は、本来収束すると考えていたさや比の平均が変わることで、収益性がなくなることである。

考察

今後の課題