複利とは

複利とは、利子に対しても利子がつく運用方法で、ねずみ算的とも言われます。

例えば、100万円を年利10%で借りたとき、翌年返済するときには、110万円となります。

これは、複利だけでなく、単利でも110万円となります。

もし、年利5%で2年後返済の場合の利子は、100万円 × 10% × 2年 = 20万円ではありません。

100万円 × (1 + 10%) ^ 2 = 121万円の返済が必要になるのです

※ ^ は累乗(掛け算を繰り返す)を表す

相対性理論で有名な物理学者アインシュタインは 「複利は人類最大の発明だ。知っている人は複利で稼ぎ、知らない人は利息を払う」 と言ったとされています。

72の法則とは、その導出

一般に、複利を暗算することは難しいです。

そのため、72の法則という利率と期間の簡易計算法があります。

これは、元本が2倍になる期間と利率の掛け算が72になるという法則です。

72 = \text{利率} \times \text{期間}

例えば、年利2%の投資商品があるとき、2倍になるには2 × 36 = 72 より、36年と簡易計算できます。

[導出]

元本: M

利率: r

期間: n

n年後の元本と利率の合計

M \times (1+r)^n

これが、2倍つまり、2Mになるときのnを考える。

\begin{aligned} M \times (1+r)^n = 2M \\ (1+r)^n = 2 \end{aligned}

両辺に自然対数をとる

\begin{aligned} \ln{(1+r)^n} = \ln{2} \\ n \ln{(1+r)} = \ln{2} \\ \therefore n = \frac{\ln{2}}{\ln{(1+r)}} \end{aligned}

ここで

\begin{aligned} \ln{2} \approx 0.69 \\ \ln{(1+r)} \approx r - \frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{3} - \cdots \\ (\because \ln(1+x)\text{のマクローリン展開}) \end{aligned}

この近似を使うと、

n \approx \frac{0.69}{r} = \frac{69}{100 \times \frac{r}{100}}

r/100を使うことで、％前の数字を使うことができる近似値を直接使うと69となるのですが、2、3、4、6の倍数である72を使用しても簡易的には差が少ない。

利率	69の期間	72の期間	期間の差
1%	69	72	3
2%	34.5	36	1.5
3%	23	24	1
4%	17.25	18	0.75
5%	13.8	14.4	0.6
6%	11.5	12	0.5
7%	9.86	10.29	0.43
8%	8.625	9	0.375

利率と増加率の早見表

72の法則ではなく、縦軸に利率、横軸に期間を取ったときの元本、利子の合計値の変化を表にした。

利率\期間	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1%	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06	1.07	1.08	1.09	1.10
2%	1.02	1.04	1.06	1.08	1.10	1.13	1.15	1.17	1.20	1.22
3%	1.03	1.06	1.09	1.13	1.16	1.19	1.23	1.27	1.30	1.34
4%	1.04	1.08	1.12	1.17	1.22	1.27	1.32	1.37	1.42	1.48
5%	1.05	1.10	1.16	1.22	1.28	1.34	1.41	1.48	1.55	1.63
6%	1.06	1.12	1.19	1.26	1.34	1.42	1.50	1.59	1.69	1.79
7%	1.07	1.14	1.23	1.31	1.40	1.50	1.61	1.72	1.84	1.97
8%	1.08	1.17	1.26	1.36	1.47	1.59	1.71	1.85	2.00	2.16
9%	1.09	1.19	1.30	1.41	1.54	1.68	1.83	1.99	2.17	2.37
10%	1.10	1.21	1.33	1.46	1.61	1.77	1.95	2.14	2.36	2.59
11%	1.11	1.23	1.37	1.52	1.69	1.87	2.08	2.30	2.56	2.84
12%	1.12	1.25	1.40	1.57	1.76	1.97	2.21	2.48	2.77	3.11
13%	1.13	1.28	1.44	1.63	1.84	2.08	2.35	2.66	3.00	3.39
14%	1.14	1.30	1.48	1.69	1.93	2.19	2.50	2.85	3.25	3.71
15%	1.15	1.32	1.52	1.75	2.01	2.31	2.66	3.06	3.52	4.05
16%	1.16	1.35	1.56	1.81	2.10	2.44	2.83	3.28	3.80	4.41
17%	1.17	1.37	1.60	1.87	2.19	2.57	3.00	3.51	4.11	4.81
18%	1.18	1.39	1.64	1.94	2.29	2.70	3.19	3.76	4.44	5.23
19%	1.19	1.42	1.69	2.01	2.39	2.84	3.38	4.02	4.79	5.69
20%	1.20	1.44	1.73	2.07	2.49	2.99	3.58	4.30	5.16	6.19
21%	1.21	1.46	1.77	2.14	2.59	3.14	3.80	4.59	5.56	6.73
22%	1.22	1.49	1.82	2.22	2.70	3.30	4.02	4.91	5.99	7.30
23%	1.23	1.51	1.86	2.29	2.82	3.46	4.26	5.24	6.44	7.93
24%	1.24	1.54	1.91	2.36	2.93	3.64	4.51	5.59	6.93	8.59
25%	1.25	1.56	1.95	2.44	3.05	3.81	4.77	5.96	7.45	9.31
26%	1.26	1.59	2.00	2.52	3.18	4.00	5.04	6.35	8.00	10.09
27%	1.27	1.61	2.05	2.60	3.30	4.20	5.33	6.77	8.59	10.92
28%	1.28	1.64	2.10	2.68	3.44	4.40	5.63	7.21	9.22	11.81
29%	1.29	1.66	2.15	2.77	3.57	4.61	5.94	7.67	9.89	12.76
30%	1.30	1.69	2.20	2.86	3.71	4.83	6.27	8.16	10.60	13.79
31%	1.31	1.72	2.25	2.94	3.86	5.05	6.62	8.67	11.36	14.88
32%	1.32	1.74	2.30	3.04	4.01	5.29	6.98	9.22	12.17	16.06
33%	1.33	1.77	2.35	3.13	4.16	5.53	7.36	9.79	13.02	17.32
34%	1.34	1.80	2.41	3.22	4.32	5.79	7.76	10.40	13.93	18.67
35%	1.35	1.82	2.46	3.32	4.48	6.05	8.17	11.03	14.89	20.11
36%	1.36	1.85	2.52	3.42	4.65	6.33	8.61	11.70	15.92	21.65
37%	1.37	1.88	2.57	3.52	4.83	6.61	9.06	12.41	17.00	23.29
38%	1.38	1.90	2.63	3.63	5.00	6.91	9.53	13.15	18.15	25.05
39%	1.39	1.93	2.69	3.73	5.19	7.21	10.03	13.94	19.37	26.92
40%	1.40	1.96	2.74	3.84	5.38	7.53	10.54	14.76	20.66	28.93
41%	1.41	1.99	2.80	3.95	5.57	7.86	11.08	15.62	22.03	31.06
42%	1.42	2.02	2.86	4.07	5.77	8.20	11.64	16.53	23.47	33.33
43%	1.43	2.04	2.92	4.18	5.98	8.55	12.23	17.49	25.00	35.76
44%	1.44	2.07	2.99	4.30	6.19	8.92	12.84	18.49	26.62	38.34
45%	1.45	2.10	3.05	4.42	6.41	9.29	13.48	19.54	28.33	41.08
46%	1.46	2.13	3.11	4.54	6.63	9.69	14.14	20.65	30.14	44.01
47%	1.47	2.16	3.18	4.67	6.86	10.09	14.83	21.80	32.05	47.12
48%	1.48	2.19	3.24	4.80	7.10	10.51	15.55	23.02	34.07	50.42
49%	1.49	2.22	3.31	4.93	7.34	10.94	16.30	24.29	36.20	53.93
50%	1.50	2.25	3.38	5.06	7.59	11.39	17.09	25.63	38.44	57.67

※太字は2倍になるとき。

7～8%で10年後2倍となる = 東証が上場企業に求める資本コストなので、日本の株式市場に投資すれば10年で2倍にできる（ことが期待できる）
2年で2倍にするには、利回りが40%以上必要。

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複利による資産増加効果一覧

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